§３　バナッハ空間

\(X\)がバナッハ空間であることの定義を述べよ．

ノルム空間上の収束する点列はコーシー列であることを示せ．

\(f∈C[a,b]\)に対して\(||f||:=\displaystyle\max_{a≦x≦b}|f(x)|\)を\(C\)ノルムという．

この時\(C[a,b]\)は\(C\)ノルムに関してバナッハ空間となることを示せ．

\(\mathbb{R}\)はバナッハ空間であることを示せ．

\(l^{p}\)はバナッハ空間であることを示せ（1\(≦p<∞\)）．

また，\(l^{p}\)は可分であることを示せ．

\(l^{∞}\)はバナッハ空間であることを示せ．

バナッハ空間\(X,Y\)の積空間\(X×Y\)はノルム\(||(x,y)||_{X×Y}:=||x||_{X}+||y||_{Y}\)によってバナッハ空間になることを示せ．

バナッハ空間の閉部分空間はバナッハ空間となることを示せ．

有限次元のノルム空間はバナッハ空間であることを示せ．

\(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\)とするとき，

\(||fg||_{1}≦||f||_{p}||g||_{q}\)(Hölderの不等式)を示せ．

\(1≦p≦∞\)とする．\(\forall f,g∈L^{p}(Ω)\)に対して

\(||f+g||_{p}≦||f||_{p}+||g||_{p}\)(Minkowskiの不等式)を示せ．