§２　部分空間

線型空間\(X\)部分集合\(M\)が部分空間であることの定義を述べよ．

また，それが閉部分空間であることの定義を述べよ．

ノルム空間\(X\)の部分空間の閉包は\(X\)の閉部分空間であることを示せ．

ノルム空間の有限次元部分空間は閉部分空間であることを示せ．

バナッハ空間\(X\)の部分空間\(M\)が，同様のノルムでバナッハ空間になるための必要十分条件は，\(M\)が\(X\)の閉部分空間であることを示せ．

\(X = C[a, b]\) とし，max ノルム \; \(\|f\|_{max} := \displaystyle\max_{a≤x≤b} \left|f(x)\right| \)を考えるものとする． \(Y = \{f ∈ X | \int_{a}^{b} f(x) dx = 0\} \)と置くとき, \(Y\) は \(X\) の閉部分空間であることを示せ.

ヒルベルト空間\(H\)上の部分集合\(M\)の直交補空間 \( M^{\bot} := \{u∈H | \forall v∈M,\: (u,v)=0 \} \)は，\(H\)の閉部分空間であることを示せ．