§１　ノルム空間

\(\|\;・\|\) がノルムであることの定義を述べよ．

次がノルム空間になることを示せ．

(1)\((\mathbb{R}^n,\|\;・\|_1), \quad \|x\|_1=\displaystyle\sum_{i=1}^n\left|x_i\right| \)　（1-ノルム）

(2)\((\mathbb{R}^n,\|\;・\|_2), \quad \|x\|_2=(\displaystyle\sum_{i=1}^n\left|x_i\right|^2)^{\frac{1}{2}} \)　（2-ノルム）

(3)\((\mathbb{R}^n,\|\;・\|_\infty), \quad \|x\|_\infty≡max\{\left|x_1\right|,\left|x_2\right|,…,\left|x_n\right|\} \; \) （最大ノルム、または一様ノルム）

(4)\((l^p,\|\;・\|_p), \quad \|x\|_p=(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\left|x_i\right|^p)^{\frac{1}{p}} \)　（p-ノルム）

(5)\((C[a,b],\|\;・\|_{\infty}), \quad \|f\|_{\infty}≡sup_{n∈[a,b]} \left|f \right| （f∈C[a,b]）　\)

(6)\(L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m),\| \;・\|), \quad \|A\|≡sup{\|Ax\|\;:\;x∈\mathbb{R}^n, \; \|x\|≦1} \) （\(L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)　\)は\(\mathbb{R}^n\)から\(\mathbb{R}^m\)への線型写像全体）

1-ノルムと2-ノルムに関して，次の不等式が成り立つことを示せ．

$$\|x\|_1≦ \sqrt{n}\|x\|_2$$

\(\|\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_j\|≦\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\|x_j\|\)を示せ．

\(\left|\|x\|-\|y\|\right|≦\|x-y\|\)を示せ．

\(\|\;・\|\) が距離の定義を満たすことを示せ．

ノルム空間上の点列の極限は，存在すれば一意的であることを示せ．

ノルムは，ノルム空間\(X\)上の連続関数であることを示せ．

\(x_n\rightarrow x,\; y_n\rightarrow y,\; α_n\rightarrow α \)の時，次を示せ．

(1)\(x_n+y_n \rightarrow x+y\)

(2)\(α_n x_n \rightarrow αx\)

有限次元空間上の任意のノルムは互いに同値であることを示せ．

有限次元ノルム空間は完備であることを示せ．

\(V\)は２つのノルム\(\|\;・\|_1,\|\;・\|_2\)のいずれに関してもバナッハ空間とする．

\(\exists C s.t. \; \|\;・\|_1≦C\|\;・\|_2 \; \Rightarrow \|\;・\|_1\)と\( \|\;・\|_2\)は同値であることを示せ．