§１　群の定義

次の(\(S\),✳︎)は群になるか確かめよ．

(1) \(S=\mathbb{Z}\),　✳︎は整数の普通の乗法

(2)\(S=\){\(x∈\mathbb{Q}|x>0\)}, ✳︎は有理数の普通の乗法

(3)\(S=\mathbb{Z}\), ✳︎は，\(a\)✳︎\(b=0\:(a,b∈\mathbb{Z})\)

\(Q=\){\(e,x,y,z\)}に次のように情報を定義する．

\(x^2=y^2=z^2,xy=yx=z,yz=zy=x,zx=xz=y\)

さらに\(e\)は単位元であるとする．\(Q\)の乗積表を作り，\(Q\)が群になることを示せ．（\(Q\)をクラインの４元群という）

\(G=GL_n(\mathbb{R})\)を\(n\)次実正則行列の集合とする．

行列の積による演算で\(G\)は非可換な無限群になることを示せ．

\(G\)は群で\(a,b,c∈G\)なら次の(1),(2)が成り立つことを示せ．

(1)（簡約法則）\(ab=ac\Rightarrow \;b=c \)

(2)\(ab=c \Rightarrow \; b=a^{-1}c,\:a=cb^{-1} \)

次の(1)〜(4)を示せ．

(1)群の単位元は一つしか存在しない．

(2)\(a∈G\)に対し，その逆元は一意的に定まる．

(3)\(a,b∈G \; \Rightarrow \; (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\)

(4)\(a∈G \; \Rightarrow \; (a^{-1})^{-1}=a\)